二级齿轮传动系统[1-4]构成复杂、结构紧凑、动力传动平稳高效，被广泛用于汽车、火车、飞机、船舶及工厂传动系统中。随着现代工业化的迅速发展对二级齿轮系统的工作效能要求不断提高，更快更准的预测二级齿轮系统的动力学行为变的更加重要。由于二级齿轮系统都存在齿侧间隙、轴侧间隙，所以二级齿轮系统都是强的非线性振动系统。齿轮振动会影响二级齿轮系统的寿命和工作效能，我们必须对二级齿轮系统的振动响应进行深入研究。通过建立二级齿轮传动系统的数学模型，全面的分析各个参数对二级齿轮系统的动态影响，为二级齿轮传动系统的设计和稳定工作提供必要的参数参考[5-10]。只有在了解了二级齿轮传动系统的动力学行为和动态性能的基础上才能设计出高性能的二级齿轮系统，才能满足当今高速、重载、高性能的机械化设备的要求。

1、力学模型
本文以二级直齿轮传动系统为研究对象，系统的简图如图1所示，系统由三根轴（轴，轴，轴），两对齿轮及轴承组成，系统的力学模型如图2所示，齿轮2、齿轮3在中间轴上，为齿轮的质量，为齿轮的基圆半径，为齿轮的转动惯量，为齿轮的齿数，，分别为第个齿侧间隙和第个轴侧间隙构成的非线性位移函数，为各齿轮对啮合处的啮合阻尼，为各齿轮对啮合处的时变啮合刚度，分别各齿轮对的综合啮合误差，，分别为轴、轴和轴两端轴承等效元件的阻尼和平均刚度，分别为第个齿轮轴心的横向振动位移和扭转振动位移，分别为系统的输入和输出扭矩，分别为各轴承对齿轮的作用力。

图1 传动系统简图 图2 系统动力学模型图
Fig.1 The transmission system diagram Fig.2 System dynamics model diagram
1.1 系统振动方程
在不考虑齿面摩擦，中间轴的扭转弯曲和传动轴质量，并假设齿轮2和齿轮3的轴心横向振动位移相同的情况下，可知，，根据系统力学模型图2可得如下振动微分方程：
(1)
式中，是对时间求导，是齿轮1和齿轮2间的弹性啮合力，是齿轮3和齿轮4间的弹性啮合力，是齿轮1和齿轮2间的粘性啮合力，是齿轮3和齿轮4间的粘性啮合力，
，

齿轮系统间隙非线性位移函数可表示为：
齿轮啮合刚度随时间周期变化，可表示成谐波级数形式，在此取三次谐波形式如下：

其中： ，，分别为平均啮合刚度、啮合频率、谐波分量系数和对应的相位角。
啮合阻尼表达式分别为式中分别为齿轮1和齿轮2的相对阻尼比及齿轮3和齿轮4的相对阻尼比。