在供应链中，牛鞭效应是指需求信息在向上游传递过程中出现的放大和歪曲。在实际
生产和管理中，有许多例子证实了牛鞭效应的存在。例如：宝洁（Procter & Gamble）公司在处理订单时发现，公司接收的订单不能反应顾客的真实需求；惠普（Hewlett-Packard）公司也发现收到的打印机的订单大于顾客的真实需求；
关于牛鞭效应问题，许多学者进行过研究。Forrester[1] (1961)运用系统动力学发现顾客的需求信息在向上游传递过程中会出现扭曲和放大，从而证实了牛鞭效应的存在。Sterman [2](1989)组织了一次被称为“啤酒游戏”的实验，也证实了牛鞭效应的存在。假设顾客需求是一个一阶自相关过程AR(1)，运用移动平均法（MA），Lee (1997)[3]等人给出了牛鞭效应的量化公式，并探讨了需求信号处理、供求博弈、订单短缺、价格波动等因素对牛鞭效应的影响。Lee, Kut 和 Christopher[4] (2000)等人又进一步指出顾客信息的共享在一定程度上能够降低牛鞭效应。
Chen, Ryan和 Simchi-Levi [5](2000)运用指数平滑法（ES），研究了由一个供应商和一个零售商构成的二级供应链中的牛鞭效应问题。文中指出：当零售商运用指数平滑法预测顾客需求时，供应链中会存在牛鞭效应，并和移动平均的结果进行了对比分析。Kim 和 Ryan [6](2003) ，假设零售商不能确切的知道顾客的需求，运用移动平均法提出一个库存模型。Holland 和 Sodhi [7](2004)基于指数平滑法，提出价格的波动会产生牛鞭效应。Chatfield [8](2004)等人，运用仿真模型测试了随机交货周期和需求信息的波动对牛鞭效应的影响。Zhang [9-10](2004, 2005)，运用均方误差法（MMSE）研究了供应链中的牛鞭效应，并和运用移动平均法、指数平滑法下产生的牛鞭效应进行对比和分析。Croson 和Donohue[11] (2005),提出运用集中控制方法可以降低牛鞭效应。Ingalls, Foote 和 Krishnamoorthy [12](2006)尝试运用控制方法集中控制库存和订货策略，以达到降低牛鞭效应的目的。Hosoda 和Disney[13] (2006)运用均方误差法研究牛鞭效应和库存的波动问题。Liu 和 Wang[14] (2008) Liao和Xu [15](2007)分别运用指数平滑法和均方误差法研究多级供应链中的牛鞭效应问题。Wright and Yuan[16] (2008)和Bayraktar[17] (2008)等人运用指数平滑法分析了家电行业供应链中的牛鞭效应问题。
最近，Sodhi and Tang[18] (2011)提出了“核心牛鞭效应”，并指出在任何供应链中由于节点企业的位置不同牛鞭效应的程度也不同。Hussain, Shome 和 Lee [19](2012)对比和分析了在移动平均法和指数平滑法下，牛鞭效应的不同。Amin 和 Karim [20](2013)提出，制造商通过提高回收比例能够有效的降低牛鞭效应。Francesco[21] (2015)等人，提出利用控制图方法并结合一组简单的决策规则,以降低牛鞭效应，并保持库存竞争性能。
现有文献中，大都是研究一个二级或是多级供应链中的牛鞭效应，很少有学者把供应链进行纵向拓展，研究二级供应链分销网络或是多级供应链分销网络中的牛鞭效应。本文基于移动平均法、指数平滑法、均方误差法，在由一个制造商和两个零售商构成的二级供应链分销网络中，提出有三种不同的牛鞭效应量化公式。建立基于三种预测技术的仿真模型，对仿真的结果进行对比和分析。
文章的结构如下：第二部分关于牛鞭效应的问题描述和模型；第三部分基于移动平均法、指数平滑法和均方误差法，推导出牛鞭效应的三种量化表达式；第四部分建立、测试并运行仿真模型；第五部分得出结论并指出以后研究的方向。

2.问题描述和模型
本部分考虑一个由一个制造商和二个零售商构成的二级供应链分销网络，相互之间只交易一种产品。在时刻末，第一个零售商向制造商的订货量是，在时刻末，第二个零售商向制造商的订货量是。假设订货提前期分别是和，制造商会在和期初收到两个零售商的订货量。两个零售商会满足顾客的需求和 ，假设顾客的需求时相互独立的。基于一阶自相关模型，可以得到：
（2.1）
（2.2）
和是一个非负常数，和是一阶自相关系数满足和，和是分别是随机扰动项，服从均值为0，方差为和正态分布。可以得到：
（2.3）
假设总的订货量为，两个零售商的订货量分别是and ，则， （2.4）
和分别是两个两个零售商的最高库存量，分别可以表示为
（2.5）
和分别是运用不同预测技术得到的需求量的估计值，和 分别是服务因子， 和 分别是两个零售商在和时期的需求标准差的估计值。根据Zhang (2005)所做的工作，本文假设，则可以得到(2.6) 和(2.7)
（2.6）
（2.7）
3. 牛鞭效应量化分析
定义1: 若满足公式(3.1)，则在二级供应链分销网络中存在弱牛鞭效应，。
(3.1)
定义2:若同时满足公式(3.1)和公式(3.2)，则二级供应链分销网络中存在强牛鞭效应。
(3.2)
推论：若果二级供应链分销网络中存在强牛鞭效应，则必然存在弱牛鞭效应，如果公式(3.2)存在则(3.3)必然存在。
(3.3)
3.1 移动平均预测法
运用移动平均法，可以得到需求的估计值和 ,
（3.4）
公式（2.7）中的and可以表示为公式（3.5）and（3.6）。
（3.5）
（3.6）
基于以上可以得到公式 (3.7)





（3.7）

必须指出在公式（3.7）中，可以证明：

由于两个零售商之间的需求是相互独立的，则可以得到

因此，可以得到公式(3.8)
………………………..(3.8)
通过公式(3.8)，可以得出下列定理：
定理1:在移动平均预测法下，二级供应链分销网络中存在强牛鞭效应。
基于公式(2.3)可以得到


根据公式(3.7)可以得到公式(3.9)和(3.10)
（3.9）
(3.10）

3.2 指数平滑法
运用指数平滑法，可以得到需求的估计值和 ,
（3.11）
基于(3.11)可以得到
公式（2.7）中的and可以表示为公式（3.12）and（3.13）。
（3.12）
（3.13）
可以得到


(3.14)
需要指出的是在公式（3.14）中
根据公式（3.14）可以的得到公式（3.15）
(3.15)
因此，通过公式(3.15)，可以得出下列定理：
定理2: 在指数平滑法下，二级供应链分销网络中存在强牛鞭效应。
从公式（3.14）可以得到公式 （3.16）和（3.17）

（3.16）

（3.17）
3.3 均方误差法
运用均方误差法，可以得到需求的估计值和 ,
(3.18）
公式（2.7）中的and可以表示为公式（3.19）and（3.20）。
(3.19）
(3.20）
可以得到
(3.21）
需要指出的是在公式（3.21）中

从公式（3.21），当和, 运用,可以得到(3.22):
……… …………… ..(3.22)
当 和, 运用 ,可以得到(3.23)
…… ……… ..(3.23)
因此，可以得出下列定理：
定理3:在均方误差法下，当和，二级供应链分销网络中存在强牛鞭效应；当和，二级供应链分销网络中不存在强牛鞭效应。