多线性Calderón-Zygmund理论起源于Coifman和Meyer的Calderón-Zygmund交换子[1,2].并且Coifman和Meyer第一次考虑了强型估计[2,3].在此理论基础上,王和江[4]考虑了多线性Calderón-Zygmund算子T的上的有界性.同时薛[5]引进了多线性平方函数T,并且考虑了的有界性.受他们的启发, 本文考虑了多线性平方函数在加权Morrey空间上的有界性. 所以首先给出多线性平方函数的定义.
定义1.1(C-Z型I的光滑性条件) 对任意(0,),设是一个在上远离对角线的局部可积函数,记.称满足C-Z型I的光滑性条件, 若对某个, A及B>1, 有下列不等式成立：
, (1)

当,有
, (2)
当, 有
. (3)
设, 对所有的定义多线性平方函数T为
. (4)
全文假设是有界算子, 其中且.
定义1.2 设,. 设.若

称. 当时, 理解为.
定义1.3 设,上的权函数. 加权Morrey空间的定义如下:
,
其中
.
加权弱Morrey空间的定义如下：
,
其中
.
若存在常数, 使得对任意的方体Q, 有. 则称权满足双倍条件.
下面给出本文的一个关键引理.
引理1.4[5] 设T是(4)定义的多线性平方函数, 核满足C-Z型I的积分条件.设，.设满足权条件,则下列结论成立：
(i)当所有, 存在常数C使得
;
(ii)当某些, 存在某个常数C使得
.
最后给出本文的主要定理.
定理1.5 设T是(4)定义的多线性平方函数, 核满足条件(1)-(3).设, 其中,则
(i)当所有,存在常数C使得
;
(ii)当某些,存在某些常数C使得
.

§2 定理1.5的证明

证明 对任意的方体,分解,其中,,.则

,
其中中的每一部分包含至少一个,接着有

.
由引理1.4(i),定义1.3和双倍条件,

接下来估计,首先估计.对任意的,使得,利用Minkowski不等式,核条件(1)(2),Hölder不等式和.

因为,则存在使得.因此

其次估计,,类似的估计,有
因此
,
综上，对上的所有方体Q取上确界,则得到结论.