摘要：本文根据《实变函数》的课程特点，提出利用比较教学法进行教学的思想，并且从不同的角度去比较，深入浅出、由浅入深，让学生在数学分析的基础之上潜移默化地领会实变函数知识的精髓，达到由简驭繁的效果。
关键词：极限、可测集、可测函数、Lebesgue积分、开集
中图分类号：O174.1
0.引言
《实变函数》是数学专业大三的专业必修课，论其难度，总是让很多师生望而生畏。然而，经过这几年的教学实践，笔者越来越体会到实变函数理论的精妙所在。分析的核心靠证明，证明的核心是其严密的理论。经过一年半到两年的《数学分析》的锻炼，学生们其实对分析类课程已经有很深切的感受，首先是觉得不那么好理解了，其次是不会理论证明，因其非常严密的逻辑推理。本文拟从《实变函数》教学中体会到的教学方法，从以下几个方面谈谈如何由浅入深、深入浅出，让学生在理解基本理论的基础上学会数学地思维，辩证地论证。
1.理论背景的比较
《实变函数》是《数学分析》的深化和扩展。《数学分析》有别于其他非数
学类的高等数学，是分析学中最古老、最基本的分支。现行的大学本科教材都是以欧氏空间中的微积分学为主要研究内容，以极限原理为基础，得到了积分和级数的相关理论。实数集作为一个完备集，具备很多好的性质，比如柯西收敛准则、有界点列都有收敛子列、线性组合的极限等于极限的线性组合等等。在欧式空间的理论框架下可以计算一个曲边梯形的面积及旋转体的体积等。这些理论构成了《数学分析》的知识体系。然而，随着数学家对函数问题研究的深入，发现了一些无法用《数学分析》的理论解释的问题。比如，发现了处处不可微的连续函数；
连续函数Rieman可积，具备什么性质的不连续函数也Rieman可积；连续函数既
然不一定可导，那么函数可导的充分必要条件又是什么呢？等等一系列的问题。数学家们逐渐发现了新的理论，并形成了新的学科，即实变函数。《实变函数》着眼于一般距离空间中的微积分学，以实变函数作为研究对象，是数学分析的深入与推广，理论建立在实数理论和集合论的基础之上。其广泛应用集合论方法，以极限为所有理论的出发点，得到了诸如开集、闭集、完备集等拓扑概念。《实变函数》以《数学分析》为基础，将微积分学的相关理论发展到一般的距离空间，结合代数等课程的相关理论，建立了与《数学分析》相对应的一套抽象但又严谨的数学理论。《实变函数》利用测度手段将连续函数扩展到可测函数，进而定义Lebesgue积分。连续函数对极限运算不封闭，但可测函数却对极限运算封闭，使得极限运算在Lebesgue积分中得到了广泛的应用。在极限与积分换序方面，Lebesgue积分也提供了Lebesgue控制收敛定理等比之Rieman积分中更弱的条件。
2.理论思维的比较
学生不要总把思维局限于《数学分析》完美的知识体系中，认为数学分析已
经穷尽了微积分的所有理论，实数集就是最大的一个集合等等。数学分析基本针对连续函数，多重积分和多重微分换序计算也有很强的条件。而实变函数克服了这样的缺陷，将连续函数在测度的意义下扩展成为可测函数，很好的诠释了Lebesgue积分的构造思想，得到了在一般意义下积分换序的条件。说明Lebesgue积分比Rieman积分具有很好的极限性质。Rieman积分由对定义域的连续分划得到，先得到六类基本初等函数的积分计算，然后利用四则运算法则和复合函数的一些积分运算方法进行计算。而在Lebesgue利用测度的观点得到相应的积分定义后由于点集情况的复杂性，测度计算尚且是个问题，所以就只是从理论上阐释了积分和极限换序及复合函数积分的相关理论。比如两种积分的定义方式，可以列表如下去理解
作者：王丽