新型水驱关系式的推导及应用

柳誉剑¹，王新海¹，杜志华²,廖春³

（1.中国石油大学石油工程教育部重点实验室,北京，102249；2.中国石油工程设计青海分公司，甘肃 敦煌 736202；3.中国石油青海油田勘探开发研究院，甘肃 敦煌 736202）

摘要：本文以Buckley-Leverett的线性驱替理论以及Welge平均含水饱和度方程为基础，推导出一种新型水驱特征曲线关系式，并进行曲线单调性等特征分析，阐述如何合理选取线性回归起始点以提高预测可采储量以及最终采收率等未来开发指标的精度；而且新型水驱特征曲线可以用于油田地质储量的预测。实例证明，本文所推导的新型水驱特征曲线能有效地预测未来开发动态，对于油田生产开发指标预测有一定的实用性。

关键字：水驱特征曲线；含水饱和度；含水率；可采储量；地质储量

基金项目：国家科技重大专项（2011zx05046,2011zx05013）；

中石油重大科技专项（QHKT/JL-03-013）

Derivation and Application of New Water Flooding Relation

Liu Yujian¹,Wang Xinhai¹,Du Zhihua²,He Min³,Zhou Bin³,Liao Chun⁴,Zhang Yu⁴

(1. China University of Petroleum, Ministry of Education Key Laboratory of Petroleum Engineering,Beijing 102249,China;2. China Petroleum Engineering Company Limited， Qinghai Branch, Dunhuang 736202,China;3. Exploration and Development Research Institute of Qinghai Oilfield Company Limited，Dunhuang 736202,China)

Abstract: This paper is based on Buckley-Leverett theory of linear displacement and Welge average water saturation equation.A new water flooding characteristic curve is derived and the characteristic of monotonicity is analyzed. Explaining how to select the reasonable starting point for linear regression to improve the accuracy of the predictive recoverable reserves and ultimate recovery. The new water flooding characteristic curve can be used to forecast the geological reserves for oilfields.

The examples prove that the new type of water flooding characteristic curve can predict the dynamic of future development for the oilfields effectively and has a certain practicality for the forecast of indexes for oil production and development.

Key words: water flooding characteristic curve; water saturation;water cut; recoverable reserves; geological reserves

水驱特征曲线广泛应用于水驱开发油田，是一种水驱油田的统计规律，它不仅可以预测油田地质储量、可采储量和采收率，还可以预测油田开发的未来动态。童宪章等^[1-2]提出的水驱油藏特征曲线及经验公式实用价值很高，成为一种重要的油藏工程方法^[3-5]。大多数水驱特征曲线的理论推导中引用艾富罗斯的实验理论成果^[6]，本文运用新的方法推导出一类新型水驱特征曲线，与其他曲线综合应用，以达到提高预测精度的目的,实际资料的应用分析表明,该法是有效的。

1 新型水驱特征曲线的论证

1.1 新型水驱特征曲线关系式推导##end##

根据Buckley-Leverett的线性驱替理论 ^[7-9]以及Welge平均含水饱和度方程^[10]可得油井见水后地层平均含水饱和度为

（1）

式中， 为地层平均含水饱和度； 为出口端含水饱和度； 为出口端含水率。

式中含水率为

（2）

式中， 和 为油和水的粘度, 。

图1 油水相对渗透率比与含水饱和度的关系

在油水两相渗流的条件下，油水两相的相对渗透率比值为含水饱和度的函数，在半对数坐标中曲线的主体部分是直线段^[11-12]（图1），该段正好是矿场实际中常用的范围，在这一直线段内，油水两相的相对渗透率的比值可以表示为

（3）

式中， 和 分别为油相和水相的相对渗透率； 和 为由油水相对渗透率曲线特征所决定的参数。

将式（3）代入式（2）得

（4）

所以含水率对含水饱和度的导数为

（5）

将式（4）代入式（5）得

（6）

将式（6）代入式（1）得

（7）

水油比为

（8）

式中， 和 分别为油和水的流量, 。

由式（8）得

（9）

将式（9）代入式（7）得

（10）

又因为

（11）

式中， 为束缚水饱和度； 和 分别为累计采油量和地质储量， 。

联立式（10）、（11）得出口端含水饱和度为

（12）

将式（12）代入式（8）得

（13）

将式（13）左右两边取常用对数得

（14）

设 ，则式（14）可简化为

（15）

上式即为本文所推导的新型水驱特征曲线。新型水驱特征曲线直线段斜率的大小主要取决于油田的地质储量以及束缚水饱和度的大小，二者越大则直线越缓；截距主要取决于地层的油水粘度比以及束缚水饱和度的大小，二者越大则直线的截距越大，斜率和截距也和地层的性质有关。

若令 ,则

（16）

1.2 新型水驱特征曲线特征分析

1.2.1 新型水驱特征曲线单调性

设式（15）左端为 ，对其求导得

（17）

令 可得 ，当 时， 为减函数，当 时， 为增函数， 为极小值点，如图2所示。

由此可见，在利用新型水驱特征曲线评价水驱油田开发效果时应该从含水率大于50％的区域寻找直线段。

图2 新型水驱特征曲线关系式增减性分析 图3 分布图

1.2.2 原因剖析

Buckley-Leverett等饱和度面移动方程式^[7-9]为

（18）

式中： 为原始油水界面位置； 为某一确定的饱和度在t时刻到达的位置； 为从两相区形成（ ）到 时刻渗入两相区的总水量（或从0到 自采出端采出的总液量）。

由上式可以计算各个含水饱和度面在 时刻所到达的位置，如图3所示。图中含水饱和度出现了双值，这是由含水率对含水饱和度导数曲线的多值性造成的，如图4所示，而实际的含水饱和度分布曲线应该为图3红线部分，在前缘位置出现含水饱和度的跃变。有效含水率导数与含水率曲线应该如图4红色部分，所以有效水油比为图5红色部分。以上即为图2中的递减段不符合实际意义的理论依据。

图4 含水率及其导数曲线图 图5 水油比曲线

1.3 拟合段起始位置的选取

对于同一开发层系和同一注采系统的水驱开发油田,无论是甲型、乙型或丙型水驱特征曲线,它们直线段的出现时间是一致的，都在油田含水率大于50%以后,或是油田的水油比大于1以后^[13]。实际上，在满足上述两个条件的前提下，使用数据点的不同，仍将导致可采储量计算结果存在误差，有时这种差异甚至会很大，影响对可采储量的正确评价^[14]。

水驱前缘含水饱和度 满足如下关系式^[7-9]

（19）

在含水率对含水饱和度曲线中，通过 做曲线切线，得到切点 。该切点所对应的饱和度即为 ，如图6所示。

此时可由式（4）得

（20）

由式（9）得

（21）

式（21）即为新型水驱特征曲线直线段基本起始位置，可以尽量避免人为选择起始点造成的预测误差，掩盖可采储量等指标的真实变化情况。

图6 含水率对含水饱和度关系曲线图

1.4 地质储量分析

在油田开发的中、后期，累积产水量和累积产油量在半对数坐标上成一条直线关系，此时甲型水驱特征曲线关系式^[6]为

（22）

式中 ，童宪章通过大量的资料的统计研究工作^[2,15]，得到水驱油田的地质储量与甲型水驱特征曲线的直线段斜率有如下关系

（23）

由上文知 ，所以新型水驱特征曲线预测的地质储量为

（24）

2 实例分析

基于大庆南二、三区葡一组开发区^[16]及濮城油田沙一段油藏^[20]的有关开发数据和计算数据绘制 随累积产油量 的变化曲线，如图7图8所示。

图7 某油田南二、三区葡一组新型水驱特征曲线 图8 濮城油田沙一段新型水驱特征曲线

图中水驱特征曲线前半段递减，后半段符合传统的递增直线型关系，分别利用常用的甲型、乙型及丙型等水驱特征曲线（表1）对该油藏水驱极限可采储量进行预测，为提高对比的准确性，分别选取相同的数据点进行线性回归，得到的直线截距 、斜率 和相关系数 以及不同方法求得的可采储量，统列于表2内。甲型、乙型以及新型水驱特征曲线预测的地质储量列于表3内。

表1 常用水驱特征曲线及水驱可采储量表达式

由表2可以看出，不同方法的拟合优度都比较高，当极限含水率分别为95％和98％时，新型水驱特征曲线的相对误差分别为7.99％和10.91％及0.1％和-1.80％，预测精度总体总体较好。

表2 不同直线关系式线性回归结果及可采储量对比

开发单元	水驱特征曲线类型	a	b	R2	可采储量(万吨；极限含水率为95％)	相对误 差（％）	可采储量(万吨；极限含水率为98％)	相对误 差（％）
大庆南二、三区葡一组开发区	甲型	1.49321	0.000789	0.9998	3201.74	-4.82	3723.21	-6.24
	乙型	-1.21124	0.000757	0.9990	3289.29	-2.21	3832.80	-3.48
	丙型	0.756056	0.000261	1.0000	3086.48	-8.24	3360.28	-15.38
	陈元千型	2.53037	0.000482	0.9997	3579.51	6.41	4405.11	10.93
	马成国型	750.037	1934.16	0.9998	3393.00	0.87	4101.17	3.27
	新型	-0.569231	0.000515	0.9967	3632.70	7.99	4404.45	10.91
	平均可采储量	3363.79万吨				3971.17万吨
濮城油田沙一段油藏	甲型	-0.370133	0.003940	0.9998	936.83	-0.6	1041.25	-0.36
	乙型	-4.12827	0.005847	0.9990	924.75	-1.9	995.12	-4.77
	丙型	0.466972	0.000917	1.0000	923.88	-2.0	985.12	-5.73
	陈元千型	1.27327	0.002337	0.9997	982.80	4.2	1153.08	10.34
	马成国型	430.230	365.386	0.9998	944.70	0.2	1069.19	2.32
	新型	-3.23669	0.004810	0.9967	943.51	0.1	1026.14	-1.80
	平均可采储量	942.75万吨				1044.98万吨

由表3可以看出，新型水驱特征曲线的预测地质储量误差较低，不失为一种有效可用的方法。

表3 不同直线关系式地质储量对比

3 结论

（1）本文提供的新型水驱特征曲线可以用于预测水驱开发油田可采储量、采收率以及地质储量。实例分析证明，该方法是实用有效的。

（2）本文新型水驱特征曲线和甲型、乙型或丙型水驱特征曲线等都应该在含水率大于50％以后寻找直线段。

（3）确定水驱前缘含水率可以确定新型水驱特征曲线线性回归基本起始位置，提高预测精度。

（4）当含水率为98％时，水驱特征曲线普遍出现上翘现象^[21]，这主要是由于在高含水期油水相渗比与含水饱和度在半对数坐标中明显偏离直线关系^[22],而且在采出1吨原油的同时,需要采水49吨，在经济上极不合理,就油田开发的整体而言也难以实现。从国外文献报导资料来看,若将极限含水率定为95%,或水油比为19,是比较经济可行的，而且外推的结果也是可靠的。

参考文献

[1]俞启泰,靳红伟.关于广义水驱特征曲线[J].石油学报,1995,16(1):61-69

Yu Qitai,Ji Hongwei.Generalized water displacement curve[J].Acta Petrolei Sinica,1995,16(1):61-69

[2]童宪章.油井产状和油藏动态分析[M].北京:石油工业出版社,1981.37-60

Tong Xianzhang. Well productivity and reservoir-like dynamic analysis[M]. Beijing: Petroleum Industry Press,1981.37-60

[3]俞启泰.俞启泰油田开发论文集[C].北京:石油工业出版社,1999.29-37

Yu Qitai. Yu Qitai Oilfield Development Proceedings[C]. Beijing: Petroleum Industry Press,1999.29-37

[4]童宪章.应用童氏水驱特征曲线分析方法解决国内外一些油田动态分析问题[J].新疆石油地质,1989,10(3):41-49

Tong Xianzhang.Application of Tong’s water drive performance curve analysis method to analyzing some reservoir performance,problems in the world[J]. Xinjiang Petroleum Geology,1989,10(3):41-49

[5]林志芳,俞启泰.水驱特征曲线计算油田可采储量方法[J].石油勘探与发,1990,17(6): 64-71

Lin Zhifang，Yu Qitai.A method for estimating recoverable reserves of an oil field by using the displacement characteristic curves[J]. Petroleum Exploration and Development,1990,17(6):64-71

[6]陈元千.水驱曲线关系式的推导[J].石油学报,1985,6(2):69-78

Chen Yuanqian. Derivation of relationship of water drive curves[J].Acta Petrolei Sinica,1985,6(2):69-78

[7]S,E,Buckley,and,M,C,Leverett,Humble,Oil,&,Refining,Co.Mechanism of Fluid Displacements in Sands[J].Transactions of the AIME,1942,146(1):107-116

[8]Hans,Petter,Langtangen,Aslak,Tveito,Ragnar,Winther.Instability of Buckley-Leverett flow in a heterogeneous medium[J]. Transport in Porous Media, 1992,9(3):165-185

[9]张建国.油气层渗流力学[M].东营:中国石油大学出版社,2006.148-156

Chen Jianguo. Reservoir fluid mechanics[M].Dongying: China University of Petroleum Press,2006.148-156

[10]Henry,J,Welge,The,Carter,Oil,Co.A Simplified Method for Computing Oil Recovery by Gas or Water Drive[J].Journal of Petroleum Technology,1952,4(4):91-98

[11]杨胜来.油层物理学[M].北京:石油工业出版社,2004.260-267

Yang Shenglai. Reservoir physics[M]. Beijing: Petroleum Industry Press, 2004.260-267

[12]Ershaghi,Iraj,Omorigie,Osazuwa,U,of,Southern,California.A Method for Extrapolation of Cut vs Recovery Curves[J]. Journal of Petroleum Technology, 1978,30(2):203-204

[13]陈元千.水驱特征曲线关系式的对比及直线段出现时间的判断[J].石油勘探与开发, 1986,(6):55-63

Chen Yuanqian. A comparison between the different forms of displacement characteristic curves and the criterion for the appearance of straight line section[J].Petroleum Exploration and Development,1986,(6):55-63

[14]靳红伟.甲型、乙型水驱特征曲线预测可采储量的误差分析[J].石油勘探与开发, 1994, 21(5):53-61

Jin Hongwei. Error analysis of predicting recoverable reserves with two type water drive curves[J].Petroleum Exploration and Development,1994,21(5):53-61

[15]童宪章.天然水驱和人工注水油藏的统计规律探讨[J].石油勘探与开发,1978,(6):38

Tong Xianzhang. Statistics Law of natural water flooding and artificial water flooding reservoirs[J].Petroleum Exploration and Development,1978,(6):38

[16]秦同洛.实用油藏工程方法[M].北京:石油工业出版社,1989.329

Qin Tongluo. Practical reservoir engineering methods[M].Beijing: Petroleum Industry Press,1989.329

[17]俞启泰.几种重要水驱特征曲线的油水渗流特征[J].石油学报,1999,20(1):56-60

Yu Qitai. Characteristics of oil water seepage flow for several important water drive curves[J].Acta Petrolei Sinica,1999,20(1):56-60

[18]陈元千.一个新型水驱特征曲线关系式的推导及应用[J].石油学报,1993,14(2):65-73

Chen Yuanqian. Derivation of a new type of water displacement curve and its application[J]. Acta Petrolei Sinica,1993,14(2):65-73

[19]陈元千.水驱曲线法的分类、对比与评价[J].新疆石油地质,1994,15(4):348-355

Chen Yuanqian. Classification,correlation and evaluation of water-drive performance curve analysis method[J].Xinjiang Petroleum Geology,1994,15(4):

348-355

[20]高文君.利用水驱特征曲线确定活塞式驱程度指数的方法[J].新疆石油地质,2000,21 (4):311-314

Gao Wenjun. Using water drive curves for determination of piston displacement degree index[J].Xinjiang Petroleum Geology,2000,21(4):311-314

[21]陈元千.高含水期水驱曲线的推导及上翘问题的分析[J].断块油气田,1997,4(3): 19-24

Chen Yuanqian. Derivation of water drive curve at high water-cut stage and its analysis of upwarding problem[J].Fault-Block Oil & Gas Field,1997,4(3):19-24

[22]宋兆杰.高含水期油田水驱特征曲线关系式的理论推导[J].石油勘探与开发,2013,40 (2):201-208

Song Zhaojie. Derivation of water flooding characteristic curve for high water-cut oilfields[J]. Petroleum Exploration and Development,2013,40 (2):

201-208

第一作者简介：柳誉剑（1988），男，中国石油大学（北京）硕士，主要从事油气藏数值模拟与动态分析研究。

地址：北京市昌平区府学路18号，中国石油大学（北京）,邮政编码：102249；电话：18777779990。E-mail:346882853@qq.com